Mudah Memahami Invers Matriks

Invers Matriks . Sebuah matriks yang determinannya tidak sama dengan nol (det(A) ≠ 0) berarti matriks tersebut adalah matriks invertable (invers matriks) sedangkan jika suatu matriks memiliki determinan sama dengan nol (det(A)=0) maka matriks tersebut tidak bisa di inverskan / non-invertable atau disebut dengan matriks singular.

Dalam suatu matriks persegi berlaku rumus A.A^-1 = A^-1. A = I . Sebuah matriks persegi (A) jika dikalikan dengan invers dari matriks persegi (A^-1) tersebut  maka hasilnya akan sama dengan invers dari matriks (A^-1) tersebut  dikali dengan matriks persegi  (A)tersebut atau matriks persegi (A) dikali dengan invers dari matriks persegi tersebut (A^-1) sama dengan matriks satuan (I).

Gambar 1 Rumus Invers Matriks

Langkah-langkah untuk mencari invers matriks antara lain (Kita misalkan nama matriksnya adalah matriks A)

1. Tentukan determinan matriks tersebut. Darimana rumus determinan matriks bisa anda lihat pada artikel   saya dengan judul determinan matriks
• Determinan Matrik 2x2
 



Gambar 2 Matriks 2x2

det(A) = |A| = + (a.d) - (b.c)

• Determinan Matrik 3x3
 



Gambar 3 Matriks 3x3

det(A) = |A| = + a ((e.i)-(f.h)) - b ((d.i)-(f.g)) + c ((d.h)-(e.g)) = a.e.i - a.f.h - b.d.i + b.f.g + c.d.h -c.e.g
• Determinan Matrik 4x4
 



Gambar 4 Matriks 4x4

det(A) = + a.f.k.p + a.g.l.n + a.h.j.o + b.e.l.o + b.g.i.p + b.h.k.m + c.e.j.p + c.f.l.m + c.h.i.n + d.e.k.n + d.f.i.o + d.g.j.m - a.f.l.o -a.g.j.p - a.h.k.n - b.e.k.p - b.g.l.m - b.h.i.o - c.e.l.n -c.f.i.p - c.h.j.m - d.e.j.o - d.f.k.m - d.g.i.n
 
2. Tentukan Cofactor dari matriks 2x2 tersebut menggunakan metoda ekspansi laplace.
A → (C)

3. Lakukan Transpose dari cofactors Matriks / adjoin matrik A tersebut
(C) → C^T = adjoin (A)

4. Masukkan dalam rumus invers matriks seperti pada gambar 1.    

Invers Matriks 2x2

Bagaimana mencari invers matriks 2x2? Sebelum kita membahas cara menyelesaikan invers matriks 2x2. Kita lihat dahulu bentuk suatu matriks A berordo 2x2 pada gambar 2 di bawah ini

Seperti yang telah disebutkan di atas terdapat 4 langkah dalam menyelesaikan invers matriks. Jika langkah-langkah tersebut kita terapkan untuk diterapkan dalam mencari invers matriks 2x2 seperti gambar yang terlihat di atas. 

Langkah petama menyelesaikan invers matrik 2x2 pada gambar 2 dimulai dari:
1. Menentukan determinan matriks A
    det(A) = |A| = + (a.d) - (b.c)

2. Tentukan Cofactor dari matriks 2x2 tersebut.menggunakan metoda ekspansi laplace

Gambar 5 Minor cofactors matriks 2x2

Sebelum melakukan cofactor terhadap matriks 2x2, gunakan minor cofactors matriks 2x2 (lihat gambar 5) untuk mendapatkan cofactors matriks 2x2.
Dengan menggunakan acuan minor cofactors matriks 2x2 pada gambar 3, kita dapat menyelesaikan cofactors menggunakan metoda ekspansi laplace seperti pada gambar 6.

Gambar 6 Langkah cofactor terhadap matriks 2x2

 Jadi hasil cofactor dari matriks A pada gambar 6 dapat anda lihat pada gambar 7.

Gambar 7 Hasil cofactors matriks 2x2

3. Tentukan transpose dari cofactor  matriks 2x2. pada gambar7. Anda bisa mengunjungi halaman kami yang khusus mendalami tentang transpose matriks. Cofactors matriks atau dengan nama lain adjoin matriks

Gambar 8 Transpose cofactors matriks 2x2

4. Masukkan dalam rumus invers matriks seperti pada gambar 1.  Sehingga invers dari matriks 2x2dapat anda lihat pada gambar 7

Gambar 7 Invers matriks 2x2

 

Invers Matriks 3x3

Sekarang kita akan mencari bagaimana invers matriks 3x3. Sebelum kita membahas cara menyelesaikan invers matriks 3x3. Kita akan lihat dahulu bentuk atau struktur dari matriks 3x3 pada gambar 3 di atas.

Untuk menyelesaikan invers matriks 3x3, kita harus mengikuti langkah-langkah yang telah saya berikan sebelumnya. Adapun langkah-langkahnya adalah
1. Menentukan determinan matriks 3x3.

Determinan matriks 3x3 adalah sebagai berikut.

det(A) = |A| = + a ((e.i)-(f.h)) - b ((d.i)-(f.g)) + c ((d.h)-(e.g)) = a.e.i - a.f.h - b.d.i + b.f.g + c.d.h -c.e.g

Jika anda ingin mendalami darimana datangnya determinan matriks 3x3 tersebut, anda bisa mengunjungi halaman kami yang membahas tentang determinan matriks

2. Tentukan cofactors dari matriks 3x3.

Gambar 8 Minor cofactor matriks 3x3

Dari minor cofactor di atas, berarti kita harus mencari berapa nilai x1,x2,x3,x4,x5,x6,x7,x8,x9. Baiklah kita akan mulai dari X1. Lihat gambar 9
Maka :
X1 = ((e.i) -f.h)

Gambar 9 X1 cofactors matriks 3x3

Untuk nilai X2 lihat gambar 10
Maka
X2 = - ((d.i)-(f.g))

Gambar 10 X2 cofactors matriks 3x3

Untuk nilai X3 lihat gambar 11
Maka
X3 =  ((d.h)-(e.g))

Gambar 11 X3 cofactors matriks 3x3

Untuk nilai X4 lihat gambar 12
Maka
X4 = - ((b.i)-(c.h))

Gambar 12 X4 cofactors matriks 3x3

Untuk nilai X5 lihat gambar 13
Maka
X5 = ((a.i)-(c.g))

Gambar 13 X5 cofactors matriks 3x3

Untuk nilai X6 lihat gambar 14
Maka
X6 = - ((a.h)-(b.g))

Gambar 14 X6 cofactors matriks 3x3

Untuk nilai X7 lihat gambar 15
Maka
X7 =  ((b.f)-(c.e))

Gambar 15 X7 cofactors matriks 3x3

Untuk nilai X8 lihat gambar 16
Maka
X8 =  - ((a.f)-(c.d))

Gambar 16 X8 cofactors matriks 3x3

Untuk nilai X9 lihat gambar 17
Maka
X9 =  ((a.e)-(b.d))

Gambar 17 X9 cofactors matriks 3x3

 Setelah berhasil menentukan nilai X1-X9 maka kita lakukan langkah ke tiga yaitu

3. Lakukan Transpose dari cofactors Matriks adjoin matrik A tersebut
(C) → C^T = adjoin (A)

Gambar 18 Transpose Cofactors Matriks 3x3

Untuk nilai X1 - X9 pada transpose matriks 3x3 cofactor dapat anda ambil pada persamaan nilai yang telah kita kerjakan pada langkah kedua..
Adapun pesamaan nilai-nilai tersebut adalah antara lain:
X1 = ((e.i) -f.h)
X2 = - ((d.i)-(f.g))
X3 =  ((d.h)-(e.g))
X4 = - ((b.i)-(c.h))
X5 = ((a.i)-(c.g))
X6 = - ((a.h)-(b.g))
X7 =  ((b.f)-(c.e))
X8 =  - ((a.f)-(c.d))
X9 =  ((a.e)-(b.d))

 4. Sehingga invers matriks 3x3 didapatkan dengan hasil

Gambar 19 Invers Matriks 3x3

Rumus di atas bisa anda gunakan untuk menentukan untuk menginverskan matriks 3x3

Contoh Soal Invers Matriks

Untuk melengkapi pemahaman kita dalam mencari nilai invers matriks, saya akan memberikan contoh soal yang berkaitan dengan invers matriks.

Berikut contoh soal invers matriks.

1. Tentukan invers matriks 2x2 di bawah ini

Gambar 20 Contoh soal invers matriks 2x2

2. Tentukan invers matriks 3x3 di bawah ini

Gambar 21 Contoh soal invers matriks 3x3

Jawaban Contoh Soal :

Contoh Soal 1. Diketahui soal matriks 2x2 pada gambar 20, Cari invers matrik 2x2 nya
Untuk menyelesaikan soal di atas yang harus kita lakukan adalah mengikuti langkah yang telah saya sebutkan di atas. Langkah-langkah tersebut adalah:

Langkah 1  Tentukan determinan matriks 2x2 tersebut.
Adapun rumus untuk determinan matriks 2x2 bisa diambil pada tulisan saya di atas yaitu
det(B) = |B| = + (a.d) - (b.c)
Untuk nilai a,d,b dan c dapat kita jadikan acuan pada gambar 2 maka
det(B) = |B| = + (12.3) - (16.-9) = 36 + 144 = 180

 Langkah 2. Langkah Menentukan nilai cofactor matriks 2x2 menggunakan metoda ekspansi laplace
Saya sudah membahas rumus pada penjelasan di atas tentang invers matriks 2x2 sehingga diperoleh cofactors matriks yang tinggal anda gunakan untuk menyelesaikan transpose matriks cofactors 2x2

Langkah 3. Langkah Melakukan transpose pada cofactor matriks 2x2 sehingga diperoleh C^T
 C^T = |d  -b|
          |-c  a|   
Maka lihat soal pada gambar 20 di dapat   
C^T = |3 -16|
         |9  12|  

Langkah 4. Langkah Mencari invers matriks 2x2

Gambar 22 Hasil contoh soal 1 invers matriks 2x2

Contoh soal 2  Diketahui matriks 3x3 seperti gambar 21 maka penyelesaiannya
Lakukan 4 langkah penyelesaian matriks 3x3 seperti yang telah dijelaskan pada matriks 3x3 di atas
Langkah 1 Tentukan determinan dari matriks 3x3
det(D) = |D| = + a ((e.i)-(f.h)) - b ((d.i)-(f.g)) + c ((d.h)-(e.g)) = a.e.i - a.f.h - b.d.i + b.f.g + c.d.h -c.e.g

Maka
det(D) = |D| = (8.3.1) - (8.1.-2) - (-3.4.1) + (-3.1.0) + 2.4.-2 -2.3.0 = 24 + 16 + 12 + 0 - 16 - 0 = 24

Langkah 2 Melakukan cofactor untuk matriks 3x3
Langkah ini bisa kita lewatkan karena rumus transpose cofactors matriks 3x3 telah kita dapatkan pada penjelasan mencari transpose cofactors matriks 3x3 diatas

Langkah 3 Menentukan transpose cofactors matriks 3x3 lihat gambar 18

X1 = ((e.i) -(f.h))  = ((3.1) -(1.-2))  = 3 + 2 = 5
X2 = - ((d.i)-(f.g)) = - ((4.1)-(1.0)) = -(4 - 0) = -4
X3 =  ((d.h)-(e.g)) = ((4.-2)-(3.0)) = -8 - 0 = -8
X4 = - ((b.i)-(c.h)) = - ((-3.1)-(2.-2)) = - (-3 + 4) = -1
X5 = ((a.i)-(c.g)) = ((8.1)-(2.0)) = 8 - 0 = 8
X6 = - ((a.h)-(b.g)) = - ((8.-2)-(-3.0)) = - (-16 + 0) = 16
X7 =  ((b.f)-(c.e)) = ((-3.1)-(2.3)) = -3 - 6 = -9
X8 =  - ((a.f)-(c.d)) = - ((8.1)-(2.4)) = - (8 - 8) = 0
X9 =  ((a.e)-(b.d)) = ((8.3)-(-3.4)) = 24 + 12 = 36

Sehingga variabel x1-x9 bisa dimasukkan pada CT pada gambar 19. Maka dihasilkan invers

Gambar 23 Transpose cofactors matriks 3x3 contoh soal 2

Langkah 4 Invers Matriks 3x3 adalah

Gambar 24 Invers matriks 3x3 contoh soal 2

Demikianlah tutorial yang kami berikan tentang invers matriks. Semoga anda dapat paham dan mengerti tentang invers matriks. Jika anda memiliki pertanyaan, saya akan menjawab jika ada waktu dan kesempatan. terima kasih

Mudah Memahami Invers Matriks 2016-11-26T14:49:00+07:00 Rating: 4.5 Diposkan Oleh: Dedy Fermana